Trigonometria No Triângulo Retângulo Exercícios

Reza November 4, 2021
Exercicios Trigonometria no triangulo retangulo Trigonometria

A trigonometria é uma área da matemática que estuda as relações entre os ângulos e as medidas dos lados de um triângulo. No triângulo retângulo, que é aquele que possui um ângulo reto (90 graus), as relações trigonométricas são especialmente úteis na resolução de problemas que envolvem medidas desconhecidas dos lados ou dos ângulos.

O que é um triângulo retângulo?

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno de 90 graus. Os outros dois ângulos são agudos (menores que 90 graus) e a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, enquanto os catetos são os outros dois lados que formam o ângulo reto. O teorema de Pitágoras, que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, é uma das ferramentas mais importantes para a resolução de problemas envolvendo esse tipo de triângulo.

Quais são as relações trigonométricas no triângulo retângulo?

No triângulo retângulo, as relações trigonométricas mais importantes são as seguintes:

  • O seno de um ângulo agudo é definido como o comprimento do cateto oposto a esse ângulo dividido pela hipotenusa.
  • O cosseno de um ângulo agudo é definido como o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo dividido pela hipotenusa.
  • A tangente de um ângulo agudo é definida como o comprimento do cateto oposto a esse ângulo dividido pelo comprimento do cateto adjacente a esse ângulo.

Essas definições podem ser resumidas pelas seguintes equações:

  • sen(θ) = o/h
  • cos(θ) = a/h
  • tan(θ) = o/a

onde θ é um dos ângulos agudos do triângulo, o é o comprimento do cateto oposto a esse ângulo, a é o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo e h é o comprimento da hipotenusa.

Como usar as relações trigonométricas para resolver problemas no triângulo retângulo?

Para resolver problemas que envolvem medidas desconhecidas no triângulo retângulo, é preciso identificar que tipo de informação está faltando e qual relação trigonométrica pode ser usada para descobrir essa informação.

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Por exemplo, se quisermos descobrir o comprimento do cateto oposto a um ângulo agudo θ, sabendo que conhecemos o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo e a medida do ângulo θ, podemos usar a definição da tangente:

  • tan(θ) = o/a
  • o = a * tan(θ)

Da mesma forma, se quisermos descobrir o comprimento da hipotenusa do triângulo, sabendo que conhecemos o comprimento de um dos catetos e o ângulo que esse cateto forma com a hipotenusa, podemos usar a definição do cosseno:

  • cos(θ) = a/h
  • h = a/cos(θ)

Existem muitos outros exemplos de problemas que podem ser resolvidos usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo. É importante lembrar que essas relações só podem ser usadas em triângulos retângulos, e que em outros tipos de triângulos é necessário usar outras técnicas para resolver problemas.

Exercícios de Trigonometria no Triângulo Retângulo

A melhor forma de aprender a usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo é praticando exercícios. Abaixo, apresentamos alguns exemplos de exercícios que podem ser usados para treinar essa habilidade:

Exercício 1

Um prédio tem 20 metros de altura. Um observador está a uma distância de 50 metros do prédio, em uma linha reta que passa pela base do prédio. Qual é o ângulo de elevação do topo do prédio, em relação à linha do horizonte?

Para resolver esse problema, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é a altura do prédio, o cateto adjacente é a distância entre o observador e a base do prédio, e a hipotenusa é a linha de visão do observador até o topo do prédio. A definição da tangente pode ser usada para encontrar o ângulo de elevação:

  • tan(θ) = o/a
  • tan(θ) = 20/50
  • θ = arctan(0,4)

O ângulo de elevação do topo do prédio é de aproximadamente 22,6 graus.

Exercício 2

Um triângulo retângulo tem um dos ângulos agudos medindo 30 graus e um dos catetos medindo 6 centímetros. Qual é o comprimento da hipotenusa desse triângulo?

Para resolver esse problema, podemos usar a definição do cosseno:

  • cos(30º) = a/h
  • h = a/cos(30º)
  • h = 6/√3
  • h ≈ 3,46

O comprimento da hipotenusa desse triângulo é de aproximadamente 3,46 centímetros.

Exercício 3

Um triângulo retângulo tem um dos ângulos agudos medindo 45 graus e a hipotenusa medindo 10 centímetros. Qual é o comprimento dos catetos desse triângulo?

Para resolver esse problema, podemos usar a definição do seno e do cosseno:

  • sen(45º) = o/h e cos(45º) = a/h
  • o = h * sen(45º) e a = h * cos(45º)
  • o = 10/√2 e a = 10/√2
  • o ≈ 7,07 e a ≈ 7,07

Os comprimentos dos catetos desse triângulo são de aproximadamente 7,07 centímetros.

Conclusão

A trigonometria no triângulo retângulo é uma ferramenta poderosa para a resolução de problemas que envolvem medidas desconhecidas dos lados ou dos ângulos desse tipo de triângulo. As relações trigonométricas mais importantes nesse contexto são o seno, o cosseno e a tangente, que podem ser usados para calcular as medidas dos lados ou dos ângulos de um triângulo retângulo a partir de informações parciais. A prática de exercícios é fundamental para o desenvolvimento dessa habilidade.

FAQs

O que é o teorema de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Essa relação pode ser escrita como a² + b² = c², onde a e b são os comprimentos dos catetos e c é o comprimento da hipotenusa.

Por que as relações trigonométricas só podem ser usadas em triângulos retângulos?

As relações trigonométricas são fundamentadas na geometria do círculo unitário,

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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