Tabela De Transformadas De Laplace

Reza November 17, 2021
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A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permite a resolução de equações diferenciais lineares. Ela transforma uma função do tempo em uma função complexa de uma variável complexa s, que é chamada de função Laplace. A tabela de transformadas de Laplace é uma lista de funções com suas respectivas transformadas de Laplace, que é usada para facilitar a resolução de problemas.

Como usar a tabela de transformadas de Laplace?

Para usar a tabela de transformadas de Laplace, é necessário seguir os seguintes passos:

  1. Identificar a função que precisa ser transformada;
  2. Consultar a tabela de transformadas de Laplace para encontrar a transformada da função identificada;
  3. Aplicar as propriedades da transformada de Laplace para simplificar a expressão, se necessário;
  4. Aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a solução da equação diferencial.

Por exemplo, se precisarmos encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = 3t^2 + 2t + 1, podemos consultar a tabela de transformadas de Laplace e encontrar que:

L{3t^2 + 2t + 1} = 3L{t^2} + 2L{t} + L{1}

A partir da tabela, sabemos que:

  • L{t^2} = 2/s^3;
  • L{t} = 1/s^2;
  • L{1} = 1/s.

Então, substituindo na expressão anterior, temos:

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L{3t^2 + 2t + 1} = 3(2/s^3) + 2(1/s^2) + 1/s

Que pode ser simplificado para:

L{3t^2 + 2t + 1} = 6/s^3 + 2/s^2 + 1/s

Para encontrar a solução da equação diferencial, é necessário aplicar a transformada inversa de Laplace na expressão obtida. Este processo pode ser feito usando a tabela de transformadas inversas de Laplace ou usando técnicas de frações parciais, por exemplo.

Quais são as propriedades da transformada de Laplace?

A transformada de Laplace possui diversas propriedades que são úteis para simplificar expressões e resolver equações diferenciais. Algumas das principais propriedades são:

  • Propriedade da linearidade: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}, onde a e b são constantes;
  • Propriedade da mudança no tempo: L{f(t – a)} = e^(-as)L{f(t)}, onde a é uma constante positiva;
  • Propriedade da mudança na escala: L{f(at)} = (1/a)L{f(t)}, onde a é uma constante positiva;
  • Propriedade da convolução: L{f * g} = L{f}L{g}, onde * representa a operação de convolução entre as funções f e g.

Por que a tabela de transformadas de Laplace é útil?

A tabela de transformadas de Laplace é útil porque permite simplificar a resolução de equações diferenciais lineares. Ao usar a tabela, é possível encontrar a transformada de Laplace de uma função com facilidade e aplicar as propriedades da transformada para obter a solução da equação diferencial. Além disso, a tabela permite economizar tempo e evitar erros de cálculo.

Qual é a relação entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier?

A transformada de Laplace e a transformada de Fourier são ferramentas matemáticas relacionadas, mas com finalidades diferentes. Enquanto a transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares, a transformada de Fourier é usada para decompor uma função periódica no domínio do tempo em suas componentes de frequência. A transformada de Laplace é uma extensão da transformada de Fourier, que permite a análise de funções não periódicas e funções que crescem exponencialmente no infinito. A transformada de Fourier pode ser obtida a partir da transformada de Laplace fazendo-se s = jw, onde j é a unidade imaginária e w é a frequência angular.

Conclusão

A tabela de transformadas de Laplace é uma ferramenta matemática importante para a resolução de equações diferenciais lineares. Ela permite encontrar a transformada de Laplace de uma função com facilidade, simplificar a expressão usando as propriedades da transformada e obter a solução da equação diferencial. Além disso, a tabela permite economizar tempo e evitar erros de cálculo. É importante lembrar que a transformada de Laplace possui diversas propriedades que são úteis para a resolução de problemas e que ela é uma extensão da transformada de Fourier, que é usada para decompor funções periódicas em suas componentes de frequência.

FAQs

1. Qual é a diferença entre a transformada de Laplace e a transformada de Fourier?

A transformada de Laplace é usada para resolver equações diferenciais lineares, enquanto a transformada de Fourier é usada para decompor funções periódicas em suas componentes de frequência. A transformada de Laplace é uma extensão da transformada de Fourier, que permite a análise de funções não periódicas e funções que crescem exponencialmente no infinito.

2. Como usar a tabela de transformadas de Laplace?

Para usar a tabela de transformadas de Laplace, é necessário identificar a função que precisa ser transformada, consultar a tabela para encontrar a transformada da função identificada, aplicar as propriedades da transformada de Laplace para simplificar a expressão, se necessário, e aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a solução da equação diferencial.

3. Por que a tabela de transformadas de Laplace é útil?

A tabela de transformadas de Laplace é útil porque permite simplificar a resolução de equações diferenciais lineares, economizar tempo e evitar erros de cálculo.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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