Sistemas De Equações Do 2º Grau: Exercícios

Reza June 16, 2021
Resolva As Seguintes Equações Do 2 Grau EDUCA

Os sistemas de equações do 2º grau são compostos por duas equações do segundo grau com duas incógnitas. Esses sistemas podem ser resolvidos por diferentes métodos, como o método da adição, da substituição ou da igualdade. Para solucionar esses sistemas, é necessário conhecer as propriedades das equações do segundo grau e como aplicá-las para encontrar as soluções.

Propriedades das Equações do 2º Grau

As equações do segundo grau têm a seguinte forma geral:

ax² + bx + c = 0

onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Algumas propriedades das equações do segundo grau são:

  • Delta (Δ): é o discriminante da equação do segundo grau e é dado por Δ = b² – 4ac. Ele determina a natureza das raízes da equação;
  • Raízes: são as soluções da equação do segundo grau e podem ser reais ou complexas;
  • Vértice: é o ponto de mínimo ou máximo da parábola que representa a equação do segundo grau;
  • Eixo de simetria: é a reta vertical que passa pelo vértice da parábola.

Método da Adição

O método da adição consiste em somar as equações do sistema para eliminar uma das incógnitas. Em seguida, a equação resultante é resolvida para encontrar o valor da incógnita eliminada. Com o valor encontrado, é possível substituí-lo em uma das equações do sistema para encontrar o valor da outra incógnita.

Vamos exemplificar esse método com o seguinte sistema:

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{ x² – y² = 9
x + y = 5 }

Somando as duas equações, temos:

x² + x – y² + y = 14

Agora, vamos utilizar a fórmula (x + y)² = x² + 2xy + y² para eliminar a incógnita xy:

(x + y)² – 4xy = 25

Substituindo xy pela equação x + y = 5, temos:

(5)² – 4xy = 25

xy = -6

Substituindo xy por -6 na equação x + y = 5, temos:

x + y = 5
x – 6/x = 5

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos as soluções:

x = 2 ou x = 3

Substituindo x = 2 na equação x + y = 5, temos:

2 + y = 5

y = 3

Logo, as soluções do sistema são x = 2 e y = 3.

Método da Substituição

O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra equação. Com a nova equação resultante, é possível encontrar o valor da outra incógnita.

Vamos exemplificar esse método com o seguinte sistema:

{ x² + y² = 25
x – y = 1 }

Isolando x em uma das equações, temos:

x = y + 1

Substituindo x por y + 1 na outra equação, temos:

(y + 1)² + y² = 25

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos as soluções:

y = 2 ou y = -4

Substituindo y = 2 na equação x = y + 1, temos:

x = 3

Substituindo y = -4 na equação x = y + 1, temos:

x = -3

Logo, as soluções do sistema são x = 3 e y = 2 ou x = -3 e y = -4.

Método da Igualdade

O método da igualdade consiste em igualar uma das incógnitas nas duas equações e resolver a equação resultante para encontrar o valor da incógnita. Com o valor encontrado, é possível substituí-lo em uma das equações do sistema para encontrar o valor da outra incógnita.

Vamos exemplificar esse método com o seguinte sistema:

{ x² + y² = 25
x² – y² = 9 }

Igualando x² nas duas equações, temos:

x² + y² = 25
x² – y² = 9

Subtraindo as duas equações, temos:

2y² = 16

y² = 8

y = ±√8

Substituindo y por ±√8 na primeira equação, temos:

x² + 8 = 25

x² = 17

x = ±√17

Logo, as soluções do sistema são x = √17 e y = √8 ou x = -√17 e y = -√8.

Conclusão

Os sistemas de equações do 2º grau são importantes para a resolução de diversos problemas matemáticos e podem ser solucionados por diferentes métodos, como o método da adição, da substituição ou da igualdade. Para resolver esses sistemas, é necessário conhecer as propriedades das equações do segundo grau e saber como aplicá-las para encontrar as soluções. É importante também verificar as soluções encontradas e substituí-las nas equações do sistema para garantir que elas são válidas.

FAQs

1. O que são equações do segundo grau?

As equações do segundo grau são aquelas que têm a forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Essas equações têm duas soluções, que podem ser reais ou complexas, e podem ser resolvidas por diferentes métodos, como a fórmula de Bhaskara ou a completar quadrados.

2. Como saber se um sistema de equações do 2º grau tem solução?

Um sistema de equações do 2º grau tem solução se as equações do sistema forem compatíveis. Isso significa que as equações têm pelo menos uma solução em comum. Para verificar se um sistema tem solução, é possível utilizar os métodos da adição, da substituição ou da igualdade para encontrar as soluções do sistema.

3. O que é o método da adição?

O método da adição é um dos métodos para resolver sistemas de equações do 2º grau. Esse método consiste em somar as equações do sistema para eliminar uma das incógnitas. Em seguida, a equação resultante é resolvida para encontrar o valor da incógnita eliminada. Com o valor encontrado, é possível substituí-lo em uma das equações do sistema para encontrar o valor da outra incógnita.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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