Questões De Trigonometria No Triângulo Retângulo

Reza April 20, 2022
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Trigonometria é o estudo das relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. No caso do triângulo retângulo, onde um dos ângulos mede 90 graus, a trigonometria é especialmente importante, pois permite calcular as medidas dos lados e ângulos desconhecidos a partir das medidas conhecidas.

Definições básicas

Antes de começarmos a falar sobre as questões de trigonometria no triângulo retângulo, é importante relembrarmos algumas definições básicas:

  • O cateto oposto é o lado que está oposto ao ângulo de 90 graus;
  • O cateto adjacente é o lado que está ao lado do ângulo de 90 graus;
  • A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90 graus e é o lado mais longo do triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é uma das ferramentas mais importantes da trigonometria no triângulo retângulo. Ele estabelece que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:

a² + b² = c²

onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa.

Esse teorema é muito útil para calcular a medida de um lado desconhecido do triângulo retângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois lados.

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Razões trigonométricas

As razões trigonométricas são relações entre os ângulos e os lados do triângulo retângulo. As três principais razões trigonométricas são:

  • Seno: razão entre o cateto oposto e a hipotenusa;
  • Cosseno: razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa;
  • Tangente: razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Exemplos de questões de trigonometria no triângulo retângulo

Vamos agora ver alguns exemplos de questões que podemos resolver utilizando a trigonometria no triângulo retângulo.

Exemplo 1

Um prédio tem 20 metros de altura. Um observador está a uma distância de 30 metros da base do prédio. Qual é o ângulo de elevação do topo do prédio em relação ao observador?

Nesse caso, podemos usar a tangente para calcular o ângulo de elevação:

tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente

θ = arctg(cateto oposto / cateto adjacente)

Na figura abaixo, temos o esquema do problema:

O cateto oposto é a altura do prédio, que é 20 metros. O cateto adjacente é a distância do observador até a base do prédio, que é 30 metros. Então:

tg(θ) = 20/30

tg(θ) = 0,6667

θ = arctg(0,6667)

θ = 33,69 graus

Portanto, o ângulo de elevação do topo do prédio em relação ao observador é de aproximadamente 33,69 graus.

Exemplo 2

Um poste de 6 metros de altura está fixado no topo de um morro que tem uma inclinação de 30 graus em relação ao solo. Qual é o comprimento da sombra do poste?

Nesse caso, podemos usar o cosseno para calcular o comprimento da sombra:

cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa

Na figura abaixo, temos o esquema do problema:

O cateto adjacente é a sombra do poste, que queremos calcular. O cateto oposto é a altura do poste, que é 6 metros. A hipotenusa é a distância do topo do morro até o ponto onde a sombra do poste toca o solo.

Podemos então usar a tangente para calcular a altura do morro:

tg(θ) = cateto oposto / cateto adjacente

tg(30) = 6 / x

x = 6 / tg(30)

x = 10,39 metros

Então, a hipotenusa é igual a 10,39 metros. Podemos agora usar o cosseno para calcular o comprimento da sombra:

cos(30) = cateto adjacente / 10,39

cateto adjacente = 10,39 * cos(30)

cateto adjacente = 9,01 metros

Portanto, o comprimento da sombra do poste é de aproximadamente 9,01 metros.

Conclusão

A trigonometria no triângulo retângulo é uma ferramenta muito útil para calcular as medidas dos lados e ângulos desconhecidos a partir das medidas conhecidas. O teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas são os principais conceitos que utilizamos para resolver questões envolvendo triângulos retângulos. É importante lembrar que, para aplicar a trigonometria, é necessário identificar o triângulo retângulo e escolher a razão trigonométrica adequada para o problema.

FAQs

1. Como identificar um triângulo retângulo?

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno de 90 graus.

2. Como escolher a razão trigonométrica adequada para um problema?

Depende do que é conhecido no problema. Se for conhecido o cateto oposto e a hipotenusa, usamos o seno. Se for conhecido o cateto adjacente e a hipotenusa, usamos o cosseno. Se for conhecido o cateto oposto e o cateto adjacente, usamos a tangente.

3. Existem outras razões trigonométricas além do seno, cosseno e tangente?

Sim, existem outras razões trigonométricas, como a cosecante, secante e cotangente, que são inversas do seno, cosseno e tangente, respectivamente.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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