Questões De Binômio De Newton

Reza April 23, 2022
MATEMÁTICA CENTRÃO 3º ANOS EXERCÍCIOS SOBRE BINÔMIO DE NEWTON

O Binômio de Newton é uma fórmula matemática utilizada para calcular a potência de uma soma. Ele é representado por:

(a + b)ⁿ = Cn0 aⁿ + Cn1 aⁿ⁻¹ b¹ + Cn2 aⁿ⁻² b² + … + Cnn bⁿ

Onde “a” e “b” são números reais, “n” é um número inteiro positivo e C é o coeficiente binomial, que pode ser encontrado na fórmula:

Cnk = n!/(k!(n-k)!)

Com essa fórmula, é possível desenvolver expressões como:

(2 + 3)² = C²0 2² + C²1 2¹ 3¹ + C²2 3² = 4 + 12 + 9 = 25

Neste exemplo, “a” é igual a 2 e “b” é igual a 3. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

(2 + 3)² = C²0 2² + C²1 2¹ 3¹ + C²2 3² = 1 * 4 + 2 * 3 * 2 + 1 * 9 = 25

Ou seja, o resultado da soma de 2 e 3 elevado ao quadrado é igual a 25.

Exemplos de questões de Binômio de Newton

Exemplo 1:

Calcule o valor de (x + y)³

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Resolução:

Solução 1:

Aplicando diretamente a fórmula do Binômio de Newton, temos:

(x + y)³ = C³0 x³ + C³1 x² y + C³2 xy² + C³3 y³

(x + y)³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³

Portanto, o valor de (x + y)³ é 1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³.

Solução 2:

Também é possível resolver a questão utilizando a regra de Pascal, que é um triângulo formado pelos coeficientes binomiais. Veja:

Triângulo de Pascal

Na terceira linha do triângulo de Pascal, temos os coeficientes binomiais C³0, C³1, C³2 e C³3. Substituindo esses valores na fórmula do Binômio de Newton, temos:

(x + y)³ = C³0 x³ + C³1 x² y + C³2 xy² + C³3 y³ = 1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³

Portanto, o valor de (x + y)³ é 1x³ + 3x²y + 3xy² + 1y³.

Exemplo 2:

Calcule o valor de (2a – b)⁴

Resolução:

Solução 1:

Aplicando diretamente a fórmula do Binômio de Newton, temos:

(2a – b)⁴ = C⁴0 (2a)⁴ + C⁴1 (2a)³(-b)¹ + C⁴2 (2a)²(-b)² + C⁴3 (2a)¹(-b)³ + C⁴4 (-b)⁴

(2a – b)⁴ = 1 * 16a⁴ + 4 * 8a³(-b) + 6 * 4a²b² + 4 * 2ab³ + 1 * b⁴

(2a – b)⁴ = 16a⁴ – 32a³b + 24a²b² – 8ab³ + b⁴

Portanto, o valor de (2a – b)⁴ é 16a⁴ – 32a³b + 24a²b² – 8ab³ + b⁴.

Solução 2:

Também é possível resolver a questão utilizando o triângulo de Pascal. Na quarta linha do triângulo de Pascal, temos os coeficientes binomiais C⁴0, C⁴1, C⁴2, C⁴3 e C⁴4. Substituindo esses valores na fórmula do Binômio de Newton, temos:

(2a – b)⁴ = C⁴0 (2a)⁴ + C⁴1 (2a)³(-b)¹ + C⁴2 (2a)²(-b)² + C⁴3 (2a)¹(-b)³ + C⁴4 (-b)⁴ = 16a⁴ – 32a³b + 24a²b² – 8ab³ + b⁴

Portanto, o valor de (2a – b)⁴ é 16a⁴ – 32a³b + 24a²b² – 8ab³ + b⁴.

Conclusão

O Binômio de Newton é uma fórmula matemática muito útil para calcular a potência de uma soma. Ele é composto por coeficientes binomiais e permite que seja desenvolvida expressões de forma mais simplificada. É importante lembrar que os coeficientes binomiais podem ser encontrados utilizando o triângulo de Pascal ou a fórmula específica. Compreender bem essa fórmula é fundamental para quem deseja ter sucesso em disciplinas como matemática, física e engenharia.

FAQs

1. Existem outras fórmulas matemáticas semelhantes ao Binômio de Newton?

Sim, existem outras fórmulas matemáticas que permitem calcular potências de somas. Uma delas é a fórmula de Leibniz, que é dada por:

(a + b)ⁿ = ∑(k=0 até n) Cnk aⁿ⁻ᵏ bᵏ

Essa fórmula é semelhante ao Binômio de Newton, mas utiliza uma notação diferente.

2. Como posso saber qual é o coeficiente binomial correto a utilizar em uma expressão?

Para encontrar o coeficiente binomial correto, é necessário utilizar a fórmula Cnk = n!/(k!(n-k)!), onde “n” é o número total de elementos, e “k” é o número de elementos escolhidos. Por exemplo, se você tem 5 elementos e deseja escolher 3, o coeficiente binomial será:

C³5 = 5!/(3!(5-3)!) = 10

3. O que é o triângulo de Pascal?

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico formado pelos coeficientes binomiais. Ele é utilizado para facilitar o cálculo de expressões como o Binômio de Newton. Cada número do triângulo é obtido somando-se os dois números que estão acima dele. Veja:

Triângulo de Pascal

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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