O Produto Ab Entre As Matrizes A

Reza January 7, 2023
Solved Find the matrix product AB for the partitioned

O produto AB entre duas matrizes A e B é uma operação matemática que consiste na multiplicação dos elementos da matriz A pelos elementos correspondentes da matriz B, de acordo com uma ordem específica. Este produto é denotado por AB e é geralmente usado em cálculos relacionados com matrizes e sistemas de equações lineares.

Definição do Produto AB

Sejam A e B duas matrizes, A com dimensão n x m e B com dimensão m x p, o produto AB é definido como:

Cij = ∑k=1mAikBkj

onde C é uma matriz resultante com dimensão n x p e cada elemento Cij é o resultado da soma dos produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B.

Em outras palavras, o elemento Cij é o produto interno entre a i-ésima linha da matriz A e a j-ésima coluna da matriz B.

Exemplo de Produto AB

Considere as matrizes A e B:

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A =

1 2
3 4

B =

5 6 7
8 9 10

Para calcular o produto AB, devemos primeiro verificar se as dimensões das matrizes são compatíveis. Como A tem dimensão 2 x 2 e B tem dimensão 2 x 3, podemos multiplicá-las e obter uma matriz resultante C com dimensão 2 x 3.

Em seguida, calculamos cada elemento da matriz C como:

C11 = A11B11 + A12B21 = 1*5 + 2*8 = 21

C12 = A11B12 + A12B22 = 1*6 + 2*9 = 24

C13 = A11B13 + A12B23 = 1*7 + 2*10 = 27

C21 = A21B11 + A22B21 = 3*5 + 4*8 = 39

C22 = A21B12 + A22B22 = 3*6 + 4*9 = 46

C23 = A21B13 + A22B23 = 3*7 + 4*10 = 53

Portanto, a matriz resultante C é:

C =

21 24 27
39 46 53

Propriedades do Produto AB

O produto AB possui diversas propriedades importantes que são usadas em cálculos envolvendo matrizes. Algumas dessas propriedades incluem:

Associatividade

O produto AB é associativo, ou seja, (AB)C = A(BC). Isso significa que, ao multiplicar três matrizes, podemos agrupar os produtos de duas em duas de qualquer forma e obter o mesmo resultado.

Não-Comutatividade

O produto AB não é comutativo, ou seja, em geral AB ≠ BA. Isso significa que a ordem em que as matrizes são multiplicadas é importante e pode afetar o resultado final.

Distributividade sobre a Soma

O produto AB é distributivo sobre a soma, ou seja, A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = AC + BC. Isso significa que podemos distribuir a multiplicação de uma matriz por uma soma de matrizes em termos de produtos de matrizes individuais.

Elemento Identidade

Existe uma matriz identidade I que pode ser multiplicada por qualquer outra matriz A sem afetar o resultado, ou seja, AI = IA = A. A matriz identidade é uma matriz quadrada com todos os elementos iguais a zero, exceto os elementos da diagonal principal, que são iguais a um.

Aplicações do Produto AB

O produto AB é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da ciência, incluindo álgebra linear, análise numérica, processamento de sinais, engenharia, física e muitas outras. Algumas das aplicações mais comuns incluem:

Sistemas de Equações Lineares

Uma aplicação importante do produto AB é na resolução de sistemas de equações lineares. Seja um sistema de equações lineares Ax = b, onde A é uma matriz de coeficientes, x é um vetor de incógnitas e b é um vetor de constantes. Podemos reescrever este sistema como:

x1A1 + x2A2 + … + xnAn = b

onde Ai é a i-ésima coluna da matriz A. Em outras palavras, estamos multiplicando cada coluna de A pelo seu respectivo elemento em x e somando os resultados para obter o vetor b.

Podemos então usar o produto AB para resolver este sistema, multiplicando ambos os lados da equação por A-1:

A-1Ax = A-1b

x = A-1b

onde A-1 é a matriz inversa de A. Isso nos permite encontrar a solução para o sistema de equações lineares.

Transformações Lineares

O produto AB também é usado para representar transformações lineares entre espaços vetoriais. Seja T uma transformação linear que leva vetores do espaço vetorial V para o espaço vetorial W. Podemos representar T como uma matriz A com dimensão m x n, onde m é a dimensão de W e n é a dimensão de V.

Seja v um vetor em V e w = Tv o seu correspondente em W. Podemos então escrever:

w = T(v) = Av

Em outras palavras, estamos multiplicando a matriz A pelo vetor v para obter o vetor w. Isso nos permite representar transformações lineares como operações matriciais.

Análise Numérica

O produto AB é muito utilizado em análise numérica para resolver problemas de cálculo numérico. Por exemplo, podemos usar o produto AB para aproximar a solução de sistemas de equações diferenciais.

Seja y(t) uma função que depende do tempo t e satisfaça uma equação diferencial da forma:

y'(t) = f(y(t))

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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