Matemática Em Contextos Função Exponencial

Reza December 2, 2021
Gráfico de função exponencial, propriedades e características

A função exponencial é um dos tópicos mais importantes da matemática, pois é encontrada em diversas áreas, como na física, na biologia, na economia, na química, na engenharia e em várias outras áreas. Essa função é muito utilizada para modelar fenômenos que apresentam crescimento ou decrescimento exponencial, ou seja, quando a variação é proporcional à quantidade existente.

Definição de Função Exponencial

Uma função exponencial é uma função da forma:

f(x) = a^x, onde a é um número real positivo diferente de 1 e x é uma variável real.

O número a é chamado de base da função exponencial e x é o expoente. O valor de f(x) é sempre positivo, pois a base a é positiva e elevada a qualquer expoente x sempre resulta em um número positivo.

Alguns exemplos de funções exponenciais são:

  • f(x) = 2^x
  • f(x) = 3^x
  • f(x) = 0,5^x
  • f(x) = 10^x

Gráfico da Função Exponencial

O gráfico da função exponencial é uma curva que se aproxima do eixo das abscissas (eixo x), mas nunca o toca. Isso ocorre porque a função exponencial cresce ou decresce muito rapidamente, tornando-se infinitamente grande ou infinitamente pequena à medida que x se aproxima de mais ou menos infinito.

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Quando a base a é maior que 1, a função exponencial apresenta um crescimento exponencial. Por outro lado, quando a base a está entre 0 e 1, a função exponencial apresenta um decrescimento exponencial.

O gráfico da função exponencial y = a^x pode ser obtido da seguinte forma:

  • Se a > 1, a curva é crescente e passa pelo ponto (0,1);
  • Se 0 < a < 1, a curva é decrescente e passa pelos pontos (0,1) e (1,a);
  • Se a = 1, a curva é uma reta horizontal no ponto y = 1;
  • Se a < 0, a curva é uma função complexa.

Propriedades da Função Exponencial

A função exponencial possui algumas propriedades importantes que facilitam seu estudo e utilização em diferentes contextos. Algumas dessas propriedades são:

  • Produto de bases iguais: a^m . a^n = a^(m+n);
  • Quociente de bases iguais: a^m / a^n = a^(m-n);
  • Potência de potência: (a^m)^n = a^(m.n);
  • Produto de potências de mesma base: a^m . b^m = (a.b)^m;
  • Quociente de potências de mesma base: a^m / b^m = (a/b)^m;
  • Propriedade do zero: a^0 = 1;
  • Propriedade da base: a^1 = a.

Além dessas propriedades, a função exponencial também possui uma propriedade muito importante chamada de propriedade da mudança de base. Essa propriedade permite que se calcule o valor de uma função exponencial em outra base qualquer utilizando-se o logaritmo.

Seja a função exponencial y = a^x. Então, podemos escrever:

y = a^x = (b^logb(a))^x = b^(logb(a.x))

Ou seja, a função exponencial y = a^x pode ser escrita como uma função exponencial de base b (diferente de a) elevada ao logaritmo natural de a vezes x na base b.

Aplicações da Função Exponencial

A função exponencial é muito utilizada em diferentes contextos, como na modelagem de crescimento populacional, na análise de decaimento radioativo, na determinação de valores futuros de investimentos, na previsão de propagação de epidemias, entre outros.

Algumas aplicações práticas da função exponencial são:

  • Crescimento populacional: modela o crescimento da população em um determinado período de tempo;
  • Decaimento radioativo: modela a quantidade de um elemento radioativo que se decompõe em um determinado período de tempo;
  • Valor presente líquido: determina o valor presente de um investimento com base em seus fluxos de caixa futuros;
  • Propagação de epidemias: modela a propagação de uma doença em uma população;
  • Processos de degradação: modela o decaimento de materiais e avarias em equipamentos ao longo do tempo.

Exemplos de Função Exponencial

A função exponencial pode ser utilizada em diferentes contextos para modelar diversos fenômenos. A seguir, apresentamos alguns exemplos de aplicação da função exponencial:

Exemplo 1: Crescimento Populacional

A população de uma cidade cresce a uma taxa de 4% ao ano. Se a população atual é de 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 5 anos?

Para resolver esse problema, podemos utilizar a função exponencial y = a.(1+r)^t, onde a é a população inicial, r é a taxa de crescimento e t é o tempo decorrido. Substituindo os valores dados, temos:

y = 10.000 . (1+0,04)^5 = 10.000 . 1,04^5 ≈ 12.166 habitantes

Portanto, a população da cidade será de aproximadamente 12.166 habitantes daqui a 5 anos.

Exemplo 2: Decaimento Radioativo

A quantidade de um elemento radioativo diminui a uma taxa de 10% a cada 2 horas. Se a quantidade inicial é de 100 gramas, quanto restará após 8 horas?

Para resolver esse problema, podemos utilizar a função exponencial y = a . (1-r)^t, onde a é a quantidade inicial, r é a taxa de decaimento e t é o tempo decorrido. Substituindo os valores dados, temos:

y = 100 . (1-0,1)^(8/2) = 100 . 0,9^4 = 65,61 gramas

Portanto, restará aproximadamente 65,61 gramas do elemento radioativo após 8 horas.

Exemplo 3: Valor Presente Líquido

Um projeto de investimento prevê fluxos de caixa de R$ 2.000 no primeiro ano, R$ 3.000 no segundo ano e R$ 4.000 no terceiro ano. Se a taxa de desconto é de 10% ao ano, qual é o valor presente líquido do projeto?

Para resolver esse problema, podemos utilizar a seguinte fórmula:

VPL = Σ(Ft / (1+i)^t) – I0

Onde VPL é o valor presente líquido, Ft é o fluxo de caixa no ano t, i é a taxa de desconto e I0 é o investimento inicial. Substituindo os valores dados, temos:

VPL = (2.000 / 1,1^1) + (3.000 / 1,1^2) + (4.000 / 1,1^3) – I0

VPL = 5.331,52 – I0

Portanto, o valor presente líquido do projeto é de R$ 5.331,52 menos o investimento inicial.

Conclusão

A função exponencial é uma das mais importantes da matemática, pois está presente em diversas áreas do conhecimento e é utilizada para model

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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