Domínio, Contradomínio E Imagem: Exercícios Resolvidos

Reza June 8, 2022
02 Função Domínio, Contradomínio e imagem de uma Função; Funções D

Os conceitos de domínio, contradomínio e imagem são fundamentais para o estudo de funções matemáticas. Neste artigo, vamos explicar em detalhes cada um desses conceitos e apresentar alguns exercícios resolvidos para ajudar na compreensão.

Domínio

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que podem ser utilizados como entrada na função. Em outras palavras, é o conjunto de valores que fazem sentido para a função. Por exemplo, na função f(x) = √x, o domínio é o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, Df = [0, ∞).

Para determinar o domínio de uma função, é preciso levar em conta as restrições que podem existir na função. Por exemplo, em uma função racional como f(x) = 1/(x-2), o valor x=2 não pode ser utilizado como entrada na função, pois resultaria em uma divisão por zero. Portanto, o domínio dessa função é Df = (-∞, 2) U (2, ∞).

Outro exemplo é a função f(x) = ln(x). Nesse caso, o domínio é o conjunto dos números reais positivos, pois a função não está definida para valores negativos ou iguais a zero.

Exemplo 1:

Determine o domínio da função f(x) = 1/(x+3).

Solução: O denominador da função é x+3, que é diferente de zero para qualquer valor de x. Portanto, não há restrições no domínio e temos Df = (-∞, ∞).

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Exemplo 2:

Determine o domínio da função f(x) = √(x-2).

Solução: O radicando da função é x-2, que precisa ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida. Portanto, temos a restrição x-2 ≥ 0, o que leva a x ≥ 2. Assim, o domínio da função é Df = [2, ∞).

Contradomínio

O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores que podem ser obtidos como saída da função. Em outras palavras, é o conjunto de valores que a função pode assumir. Por exemplo, na função f(x) = x², o contradomínio é o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, C = [0, ∞).

Em alguns casos, o contradomínio pode ser determinado a partir do domínio e da definição da função. Por exemplo, se a função é definida como f(x) = x², sabemos que o menor valor que a função pode assumir é 0 (quando x=0), e que não há limite superior para a função. Portanto, o contradomínio é C = [0, ∞).

Em outros casos, pode ser necessário usar propriedades da função para determinar o contradomínio. Por exemplo, na função f(x) = sen(x), sabemos que sen(x) está sempre entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Portanto, o contradomínio é C = [-1, 1].

Exemplo 3:

Determine o contradomínio da função f(x) = x³ + 2x.

Solução: Podemos observar que x³ é sempre não negativo, já que é o cubo de um número real. Além disso, 2x pode assumir qualquer valor real. Portanto, o menor valor que a função pode assumir é 0 (quando x=0), e não há limite superior para a função. Assim, o contradomínio da função é C = [0, ∞).

Exemplo 4:

Determine o contradomínio da função f(x) = cos(x).

Solução: Sabemos que -1 ≤ cos(x) ≤ 1 para qualquer valor de x. Portanto, o contradomínio da função é C = [-1, 1].

Imagem

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função efetivamente assume. Em outras palavras, é o conjunto de valores que a função produz como saída para os valores de entrada do domínio. Por exemplo, na função f(x) = x², a imagem é o conjunto dos números reais não negativos, ou seja, Imf = [0, ∞).

Para determinar a imagem de uma função, é preciso analisar o comportamento da função em relação aos valores de entrada do domínio. Por exemplo, na função f(x) = sen(x), sabemos que o maior valor absoluto que sen(x) pode assumir é 1. Portanto, a imagem da função é Imf = [-1, 1].

Exemplo 5:

Determine a imagem da função f(x) = 2x-3.

Solução: A função é uma função linear, o que significa que a imagem será um intervalo. Podemos encontrar o menor e o maior valor que a função pode assumir, e o intervalo será o conjunto entre esses valores. Para encontrar o menor valor, basta observar que a função pode assumir qualquer valor real quando x tende a infinito negativo. Portanto, não há limite inferior para a imagem. Para encontrar o maior valor, basta observar que a função pode assumir qualquer valor real quando x tende a infinito positivo. Portanto, não há limite superior para a imagem. Assim, a imagem da função é Imf = (-∞, ∞).

Exemplo 6:

Determine a imagem da função f(x) = x/(x-2).

Solução: Podemos observar que a função pode assumir qualquer valor real, com exceção do valor y=1. Isso ocorre porque quando x tende a 2, a função tende ao infinito positivo ou negativo, dependendo do sinal de (x-2). Portanto, a imagem da função é Imf = (-∞, 1) U (1, ∞).

Conclusão

Os conceitos de domínio, contradomínio e imagem são fundamentais para o estudo de funções matemáticas. O domínio indica quais valores podem ser utilizados como entrada na função, o contradomínio indica quais valores a função pode assumir como saída, e a imagem indica quais valores a função efetivamente assume como saída para os valores de entrada do domínio. É importante lembrar que cada função pode ter restrições específicas no domínio e que é preciso analisar o comportamento da função para determinar o contradomínio e a imagem.

FAQs

1. O que acontece quando um valor que não está no domínio é utilizado como entrada na função?

Quando um valor que não está no domínio é utilizado como entrada na função, a função não está definida e o resultado é indeterminado. Por exemplo, se tentarmos calcular f(2) para a função f(x) = 1/(x-2), teremos uma divisão por zero, que não é um valor numérico válido.

2. A imagem de uma função sempre é um intervalo?

Nem sempre. A imagem de uma função pode ser um conjunto finito de valores, um conjunto discreto de valores ou um intervalo. Por exemplo, a função f(x) = x² tem imagem [0, ∞), que é um intervalo, enquanto a função f(x) = sen(x) tem imagem [-1, 1], que é um conjunto finito de valores.

3. O que acontece quando o contradomínio é menor do que a imagem?

Quando o contradomínio é menor do que a imagem, significa que a função não está assumindo todos os valores que poderia assumir. Isso pode ocorrer, por exemplo, quando há restrições no domínio que impedem a função de assumir certos valores. Porém, em alguns casos, é possível expandir o contradomínio para incluir todos os valores da imagem.

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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