Circunferência Circunscrita A Um Triângulo

Reza February 1, 2022
Demonstração Circunferência circunscrita a um triângulo YouTube

Uma circunferência circunscrita a um triângulo é um círculo que passa pelos três vértices do triângulo. Essa circunferência tem um centro único e um raio definido. Esse centro é chamado de circuncentro, e o raio é chamado de raio circunscrito.

Como encontrar o centro da circunferência circunscrita a um triângulo

Para encontrar o centro da circunferência circunscrita a um triângulo, é necessário encontrar a interseção das três bissetrizes dos ângulos do triângulo. As bissetrizes dos ângulos são as retas que dividem o ângulo em dois ângulos iguais. O ponto de interseção dessas bissetrizes é o circuncentro.

Para melhor entender esse processo, vamos ver um exemplo:

No triângulo acima, vamos encontrar o centro da circunferência circunscrita. Primeiro, vamos desenhar as bissetrizes dos ângulos:

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Em seguida, vamos encontrar o ponto de interseção dessas bissetrizes:

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Esse ponto é o circuncentro, ou seja, o centro da circunferência circunscrita.

Como encontrar o raio da circunferência circunscrita a um triângulo

Para encontrar o raio da circunferência circunscrita a um triângulo, é necessário usar o teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

No caso da circunferência circunscrita, o triângulo não precisa ser retângulo, mas é necessário encontrar a medida de um dos lados do triângulo. Vamos ver um exemplo:

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No triângulo acima, vamos encontrar o raio da circunferência circunscrita. Para isso, vamos usar a fórmula:

raio = (abc) / (4 * área)

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • área é a área do triângulo

Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Heron:

área = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • s é o semi-perímetro do triângulo (s = (a + b + c) / 2)

Vamos calcular a área do triângulo:

s = (6 + 8 + 10) / 2 = 12

área = √(12(12-6)(12-8)(12-10)) = √(12 * 6 * 4 * 2) = √(576) = 24

Agora podemos calcular o raio:

raio = (6 * 8 * 10) / (4 * 24) = 5

Portanto, o raio da circunferência circunscrita é 5.

Propriedades da circunferência circunscrita a um triângulo

A circunferência circunscrita a um triângulo tem várias propriedades interessantes:

  • O circuncentro é equidistante dos vértices do triângulo
  • O raio da circunferência circunscrita é o segmento de reta perpendicular ao lado do triângulo que passa pelo ponto médio do lado
  • O ângulo inscrito em uma circunferência que contém um dos lados do triângulo é metade do ângulo central que contém o mesmo lado
  • O produto dos segmentos de reta tangentes à circunferência a partir de um ponto externo ao círculo é igual ao quadrado da distância do ponto ao centro do círculo
  • O ângulo formado pelos segmentos de reta tangentes a partir de um ponto externo ao círculo é igual ao ângulo central que contém o mesmo arco

Exemplos de problemas envolvendo a circunferência circunscrita a um triângulo

Vamos ver alguns exemplos de problemas que envolvem a circunferência circunscrita a um triângulo:

Exemplo 1

Um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 3 e 4. Qual é o raio da circunferência circunscrita?

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a hipotenusa do triângulo, que é 5, usando o teorema de Pitágoras. Em seguida, podemos usar a fórmula:

raio = (abc) / (4 * área)

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • área é a área do triângulo

Como o triângulo é retângulo, a área é:

área = (3 * 4) / 2 = 6

Então:

raio = (3 * 4 * 5) / (4 * 6) = 5 / 2

O raio da circunferência circunscrita é 2.5.

Exemplo 2

Um triângulo equilátero tem lado de comprimento 6. Qual é o raio da circunferência circunscrita?

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula:

raio = (abc) / (4 * área)

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • área é a área do triângulo

Como o triângulo é equilátero, a área é:

área = (√3 * 6²) / 4 = 9√3

Então:

raio = (6³) / (4 * 9√3) = 2√3

O raio da circunferência circunscrita é 2√3.

Exemplo 3

Em um triângulo ABC, a circunferência circunscrita tem raio de comprimento 5. Se AB = 8 e AC = 10, qual é o comprimento de BC?

Podemos usar a fórmula:

raio = (abc) / (4 * área)

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • área é a área do triângulo

Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Heron:

área = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Onde:

  • a, b e c são os lados do triângulo
  • s é o semi-perímetro do triângulo (s = (a + b + c) / 2)

Vamos calcular a área do triângulo:

s = (8 + 10 + BC) / 2 = (BC + 18) / 2

área = √(((BC + 18) / 2)((BC + 18) / 2 – 8)((BC +

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Reza Herlambang

Eu sou um escritor profissional na área de educação há mais de 5 anos, escrevendo artigos sobre educação e ensino para crianças na escola.

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